kulupu (sona nanpa)

kulupu anu kulupu pi ijo ante (toki Inli: set) li ijo lon sona nanpa. kulupu li jo e ijo mute. ijo li lon kulupu la, ona li ijo. ale li ken lon kulupu. sona ni li sona nanpa kulupu.

kon noka

lon sona nanpa la, kulupu li ken toki e ijo ona, anu li ken toki ona sama ni: kulupu pi nanpa lawa anu kulupu pi jan lon tomo.

ijo $x$ li lon kulupu $K$ la, jan li sitelen e $x \in K$ ; kin la, ijo $y$ li lon ala kulupu $S$ la, jan li sitelen e $y \notin K$ . ni li sama ni: kulupu $\mathbb {Z}$ li kulupu nanpa pi wan nanpa la, $-3\in \mathbb {Z}$ en $1.5\not \in \mathbb {Z}$ .
lon noka pi lon kulupu la, kulupu li sama la, kulupu li jo e sama ijo ale; kin la, kulupu li ante la, ante ijo li lon.

kulupu li lon li jo e ijo ala. lon noka pi lon kulupu la, kulupu ni li wan. ni li kulupu weka (toki Inli: empty set, null set). sitelen ni li $\varnothing$ li $\emptyset$ anu li $\{\,\}$ .

kulupu pi ijo wan (toki Inli: singleton) li jo e ijo wan. $x$ li lon kulupu ni la, kulupu ni li sitelen e ${x}$ . kulupu ${\emptyset}$ en kulupu $\emptyset$ li ante tan ni: kulupu #1 li jo e ijo wan en kulupu #2 li jo e ijo ala.

nanpa pi nanpa ijo $n$ li lon #1 li ken pali sama e ijo ale lon kulupu la, kulupu ni li pini; la, jan li ken toki e ni: nanpa $n$ li nanpa pi kulupu ijo. taso la, nanpa $n$ ni li lon ala la, kulupu ni li pini ala. kulupu weka li pini li jo e ijo ala.

kipisi:not a typo — nasin nanpa ni li pini ala

nanpa pi nanpa ijo li kulupu pi pini ala. ni li sitelen $ℕ$ . kulupu pi pini ala li sama ni: nanpa pi wan nanpa ( $ℤ$ ), nanpa kipisi ( $ℚ$ ), nanpa ma ( $ℝ$ ), kulupu sijelo pi palisa tawa weka ala, linja, en kulupi sijelo ante.

nimi kulupu

lon noka pi lon kulupu la, jan li toki e ijo kulupu ale, anu li toki e kule pi ijo kulupu tan kulupu suli.

sitelen pi lipu ijo

sitelen ni li lipu pi kulupu ijo. jan sona En Semelo li pana e sitelen pi lipu ijo (toki Inli: roster notation, enumeration notation). nasin li jo ijo lon insa pi sitelen "{}" li tu e ijo kepeken sitelen ",", sama ni: ${4,2,1,3}$ en ${laso, walo, loje}$ .

sitelen " ${}$ " tawa kulupu weka en sitelen " ${x}$ "tawa kupulu pi ijo wan li sama ni.

jan li nimi e kulupu la, suli ni li ijo ante lon anu lon ala. ijo nasin li ante ala, sama ni: $\{1,2,3,4\}=\{4,2,1,3\}=\{4,2,4,3,1,3\}$ (1 en 2 en 3 en 4 li lon kulupu ale la, kulupu ale li sama.)

jan li sona la, ijo li ken awen. jan li ken kepeken sitelen "...", sama ni: sitelen ${\textstyle \{1,2,3,...,10\}}$ li lili tan sitelen ${\textstyle \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}}$ . sitelen "..." li ken sitelen e pini ala, sama ni: kupulu nanpa pi wan nanpa ale li sitelen e $\{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}$ anu $\{0,1,-1,2,-2,3,-3,...\}$ .

sitelen ni li ken sitelen e kulupu pi nanpa ken taso.

sitelen pi toki ijo

sitelen ni li toki pi kulupu ijo. ijo lon kulupu la, ijo li pona tawa toki pi toki lon. toki $P (x)$ li toki pi toki lon, kepeken nanpa nimi $x$ la, $\{x\mid P(x)\}$ anu $\{x:P(x)\}$ li sitelen e kulupu pi ni: nanpa nimi $x$ ale la, toki $P (x)$ li lon, sama ni: jan li ken toki e kulupu $F$ tawa: $F=\{n\mid n{\text{ li nanpa pi wan nanpa lon }}0\leq n\leq 19\}.$ sitelen ni la, sitelen "|" li toki "tan ni:". sitelen ni li ken toki sama toki "kulupu $F$ li kulupu pi nanpa $n$ ale tan ni: nanpa $n$ li nanpa pi wan nanpa lon 0 tawa 19 lon pini."

toki pi toki lon li ike la, toki " $\color {red}{{\text{kulupu }}K{\text{ li kulupu}}}$ " anu toki " $\color {red}{{\text{kulupu }}K{\text{ li kulupu en }}K\not \in K}$ " li ike tan ni: kulupu li ken lon ala. jan li ken pana lon ni: toki li toki e kulupu. taso la, ni li pona ala.

jan li ken toki e kulupu suli $U$ . kulupu ni o jo e ijo ale tan toki. jan li sitelen e $\{x\mid x\in U{\text{ en }}...\}$ anu $\{x\in U\mid \;...\}.$

jan li ken toki e kulupu $U$ . nanpa nimi ale li sitelen "|" tawa soto lon kulupu $U$ . tan ni la, toki " ${\textstyle x\in U}$ " li len. kulupu $U$ li kulupu ale (lon ni).

sama la, sitelen lili Lasina li ken sitelen e nanpa pi nanpa ma, sama ni: toki $\{x\mid x\not \in \mathbb {Q} \}$ li lili tan $\{x\in \mathbb {R} \mid x\not \in \mathbb {Q} \};$ ni li toki e nanpa pi kipisi ala.

kulupu lili

kulupu lili pi kulupu $B$ li kulupu $A$ ni: ijo pi kulupu $A$ ale li lon kulupu $B$ . ni la, ni li sitelen sama:

kulupu $A$ li kulupu lili pi kulupu $B$ ,
${\textstyle \forall x[x\in A\implies x\in B]}$ ,
kulupu $A$ li insa pi kulupu $B$ ,
${\textstyle A\subseteq B}$
kulupu $B$ li kulupu suli pi kulupu $A$ ,
kulupu $B$ li jo e kulupu $A$ ,
${\textstyle B\supseteq A}$

kulupu $A$ li kulupu lili pi kulupu $B$ ( ${\textstyle A\subseteq B}$ ), taso kulupu $A$ li kulupu $B$ ala ( ${\textstyle A\not =B}$ ) la, kulupu $A$ li kulupu lili lon pi kulupu $B$ ; ni la, ${\textstyle A\subsetneq B}$ anu ${\textstyle A\subsetneqq B}$ ; kin la, kulupu B li kulupu suli lon pi kulupu $A$ ; ni la, ${\textstyle B\supsetneq A}$ anu ${\textstyle B\supsetneqq A}$ .

sitelen $A\subset B$ li $A\subseteq B$ ; ken la, sitelen ni li $A\subsetneq B$ . len ala la, o sitelen e $A\subseteq B$ anu $A\subsetneq B$ .

sama ni

kulupu pi jan ali li kulupu lili lon pi kulupu pi soweli ale.
$\{1,3\}\subsetneq \{1,2,3,4\}$ .
$\{1,2,3,4\}\subseteq \{1,2,3,4\}$ .

ijo pi kulupu lili

kulupu tu li sama la, sama lon la, kulupu li jo e kulupu ante. nimi " $A=B$ li lon" li sama lon nimi " $A\subseteq B$ en $B\subseteq A$ li lon".
kulupu weka li kulupu lili pi kulupu ale. $\forall A[\varnothing \subseteq A]$ .

pali pi kulupu sin

pali ni li kepeken e sitelen pi jan Ole e sitelen pi jan Wen.

pali pi sama kulupu

ijo pi kulupu A ∩ B ale li lon kulupu A li lon kulupu B. o lukin e ni: kulupu M = {kili, kala, telo} en kulupu N = {kasi, telo, kala}, la kulupu M ∩ N = {kala, telo}.

pali pi wan kulupu

ijo pi kulupu A ∪ B ale li lon kulupu A anu li lon kulupu B. o lukin e ni: kulupu P = {1, 2, 3} en kulupu T = {2, 3, 4}, la kulupu P ∪ T = {1, 2, 3, 4}.

pali pi weka kulupu

ijo pi kulupu A \ B ale li lon kulupu A, taso li lon ala kulupu B. o lukin e ni: kulupu S = {3, 4}, en kulupu L = {3, 5}, la kulupu S \ L = {4}.